Les nombres normaux sont 1, 2, 3, 4... un autre nom pour eux est positif que les nombres entiers. 0 ne soit pas un nombre entier positif, ainsi ce n'est pas un nombre normal. Nous pouvons ajouter, multiplier, et diviser des nombres normaux. Le résultat de la dernière opération, division, cependant, n'est pas parfois un nombre normal. Par exemple, 1:2 = 1/2 - c'est une fraction appropriée, pas un nombre entier. Si le résultat de la division des nombres normaux n par m est un nombre normal, nous dirons que m est un diviseur de n, et dénoterons ceci comme m| n. Par exemple, 6 a quatre diviseurs: 1| 6, 2| 6, 3| 6, 6| 6.
Pour tout nombre normal n, nous prenons 1| n et n| n. Les nombres principaux sont les nombres normaux p ayant exactement deux diviseurs: 1 et p. par cette définition, 1 n'est pas un nombre principal, parce qu'il a exactement un diviseur, nombres de 1. les premiers perfection sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31... ' Tous les nombres principaux sont impairs, et 2 est le plus impair d'eux.'
Appelons les diviseurs appropriés tous les diviseurs d'un nombre normal n, à moins que n. considèrent la fonction
P(n) = la somme des diviseurs appropriés de n.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | ... | 27 | 28 | 29 | 30 | ... |
| P(n) | 0 | 1 | 1 | 3 | 1 | 6 | 1 | 7 | 4 | 8 | 1 | 16 | 1 | 10 | ... | 13 | 28 | 1 | 42 | ... |
Exercice 1. Montrer ce P(p) = 1 si et seulement si p est un nombre principal.
Nous dirons qu'un nombre normal n est déficient, parfait, ou abondant, également, si P(n) est moins que n, égale n, ou est plus que n. par exemple, 6 et 28 sommes des nombres parfaits. Euler a montré qu'un nombre même normal N est parfait si et seulement si
N = 2 p - 1 (2 p - 1),
là où 2 p - 1 est un principal numérotent.
Exercice 2. Trouver un nombre parfait plus de 28.
Personne ne sait aucun nombre parfait impair, comme personne sait si le nombre de nombres parfaits est fini ou infini.
En utilisant la fonction P(n), nous pouvons définir d'autres nombres intéressants: nombres amicaux. Les nombres normaux m et n sont des nombres amicaux (mutuels), si P(n) = m, et P(m) = n. Par exemple, 220 et 284 sont des nombres amicaux. Beaucoup de couples des nombres amicaux sont connus, mais personne ne sait si le nombre de tels couples est fini ou infini, et il n'y a pas une formule simple connue pour des nombres amicaux analogues à la formule d'Euler pour même des nombres parfaits.
1. Prouver que si le nombre normal n n'est pas un nombre principal, puis 2 n - 1 n'est pas un nombre principal.
2. Prouver la moitié la plus facile du théorème d'Euler (connu des mathématiciens antiques): si 2 p - 1 est un nombre principal (de tels nombres principaux s'appellent Mersenne amorce), alors le nombre N, défini par formule d'Euler ci-dessus, est un nombre parfait.
© 1996 Aleksandrs Mihailovs